در سال ۱۳۹۶، گروه تحقیقاتی «کاگ» با حضور چهار عضو هیئت علمی گروه ریاضی دانشگاه اصفهان (جواد باقریان، مریم خاتمی، رضا سبحانی و علیرضا عبدالهی) آغاز به کار کرد. هسته اصلی پژوهش‌ها و نقطه پیوند این همکاری، نظریه «کدهای جایگشتی» بوده و هست.
در ادامه مسیر و با هدف گسترش پژوهش‌ها به سمت پیاده‌سازی و بررسی کاربردهای نوین این کدها در علوم مهندسی، از جناب آقای دکتر فرزاد پرورش (عضو هیئت علمی دانشکده مهندسی برق) جهت پیوستن به گروه دعوت به عمل آمد. همچنین، خانم‌ها دکتر فاطمه جعفری و دکتر فرزانه عابدی به عنوان پژوهشگران پسادکتری به این جمع تحقیقاتی پیوستند.
گروه کاگ در طول سال‌های فعالیت خود علاوه بر برگزاری سمینارها و سخنرانی‌های تخصصی متعدد در حوزه کدهای جایگشتی (که ویدئوهای آن‌ها در بخش سمینارها در دسترس است)، دستاوردهای پژوهشی برجسته‌ای را در قالب مقالات متعدد در مجلات معتبر بین‌المللی به چاپ رسانده است:
- ساخت کدهای جایگشتی: در مقاله [۸]، گروه موفق به ساخت رده‌ای از کدهای جایگشتی کارآمد با بهره‌گیری از کدهای رید–سولومون (Reed–Solomon) گردید.
- ساختارهای جبری و کدهای متساوی‌الفاصله: در مقاله [۷]، ساختار کدهای جایگشتی گروهی با حداقل فاصله همینگ مشخص و ویژگی متساوی‌الفاصله (Equidistant) مورد بررسی دقیق قرار گرفت.
- کران‌های جدید در متریک‌های مختلف:
- در مقالات [۴] و [۶]، کران‌های بالا و پایین جدید و بهبودیافته‌ای برای اندازه بزرگ‌ترین کدهای جایگشتی تحت فاصله کندال (τ\tauτ-Kendall) ارائه شده است.
- در مقاله [۵]، کران بالای جدیدی برای اندازه بزرگ‌ترین کدهای جایگشتی با حداقل فاصله همینگ ۵ اثبات شد.
- کاربرد در ذخیره‌سازی داده روی DNA و بازسازی دنباله‌ها:
- در مقالات [۲] و [۳]، تمرکز پژوهش‌ها بر کاربردهای نوین کدهای جایگشتی در ذخیره‌سازی اطلاعات روی DNA (سامانه‌های مدولاسیون رتبه / Rank Modulation) معطوف بوده که شامل شمارش جایگشت‌های مجاز از طریق آرایش ابرصفحه‌ها و تحلیل ویژگی‌های فاصله‌ای در توالی‌یابی شات‌گان است.
- در مقاله [۱]، مسئله مهم بازسازی دنباله‌ها (Sequence Reconstruction) برای جایگشت‌ها تحت متریک همینگ با فرض خطاهای کوچک بررسی و حل شده است.
اهمیت و جایگاه علمی موضوع
موضوع کدهای جایگشتی از یک‌سو پلی بنیادین میان نظریه کدگذاری و نظریه گروه‌هاست؛ چرا که این کدها زیرمجموعه‌هایی از گروه‌های متقارن بوده و هرگاه دارای ساختار گروهی باشند، تقارن و ویژگی‌های منحصربه‌فردی می‌یابند. از سوی دیگر، بهره‌گیری از ابزارهای پیشرفته «نظریه اسکیم‌های پیوندی» (Association Schemes) و روش‌های جبری-ترکیبیاتی، نقشی اساسی در تعیین ظرفیت و کران‌های این کدها ایفا می‌کند.
علاوه بر این پژوهش‌ها، یکی از اعضای اصلی و مسئول گروه پژوهشی کاگ، آقای دکتر علیرضا عبدالهی، نقش بنیادین و مؤثری در توسعه زیرساخت‌های علمی و ترویجی ریاضی در سطح ملی و بین‌المللی داشته‌اند؛ از جمله:
- پایه‌گذاری نخستین سمینار نظریه گروه‌ها در ایران (دانشگاه اصفهان، ۱۳۸۷) که تا کنون به برگزاری مستمر ۱۷ دوره در دانشگاه‌های مختلف کشور انجامیده است.
- راه‌اندازی اولین نشریه تخصصی نظریه گروه‌ها در کشور (و دومین نشریه در سطح بین‌المللی) در سال ۱۳۹۰ در دانشگاه اصفهان، و همچنین تأسیس یک نشریه تخصصی ترکیبیات در همان سال، که هر دو نشریه در پایگاه‌های معتبر بین‌المللی Scopus و Web of Science (WoS) نمایه می‌شوند.
- بنیان‌گذاری نشریه «ریاضی و جامعه» با هدف ارتقای آگاهی عمومی و ترویج علم ریاضیات به زبان فارسی.
[1]A. Abdollahi, H. Eskandari, J. Bagherian, F. Jafari, M. Khatami, F. Parvaresh and R. Sobhani, The sequence reconstruction of permutations under Hamming metric with small errors, Cryptography and Communications, (2026).
[2] A. Abdollahi, J. Bagherian, F. Jafari, M. Khatami, F. Parvaresh, A. Orak and R. Sobhani, Rank modulation codes for DNA storage in shotgun sequencing: Structure and distance properties, Discrete Mathematics, 349 (2026), 11, 115253.
[3] R. Sobhani, F. Parvaresh, A. Abdollahi, F. Abedi, J. Bagherian and M. Khatami, On Enumerating Feasible Permutations for Rank Modulation Codes in DNA storage via Hyperplane Arrangements, IEEE Transactions on Information Theory, 72(2026), no. 8, pp 5490-5500.
[4] F. Parvaresh, R. Sobhani, A. Abdollahi, J. Bagherian, F. Jafari, and M. Khatami, Improved bounds on the size of permutation codes under Kendall $\tau$-metric, IEEE Transactions on Information Theory, 71(2025), no. 6, pp. 4156-4166.
[5] A. Abdollahi, J. Bagherian, F. Jafari, M. Khatami, F.Parvaresh and R. Sobhani, Upper bounds on the size of permutation codes with Hamming distance of five, cryptography and communications, 17 (2025), 1075-1091.
[6] A. Abdollahi, J. Bagherian, F. Jafari, M. Khatami, F.Parvaresh and R. Sobhani, New Upper Bounds on the Size of Permutation Codes Under Kendall Tau Metric, Cryptography and Communications, 15 (2023), 891-903.
[7] F. Jafari, A. Abdollahi, J. Bagherian, M. Khatami and R. Sobhani, Equidistant permutation group codes, Designs, Codes and Cryptography, (2022) 1-19.